Home » Kulturë » Bukuria e matematikës

Bukuria e matematikës

H.E.Huntley

 

Bukuria, natyrisht, është te sytë e njerëzve dhe jo te kafshët. Por shumë njerëz nuk shohin ndonjë lidhje midis matematikës dhe të bukurës. Ka shumë dëshmi që matematika ka bukurinë e vet.

Janë dy gjera:

-Kënaqësia që sjell veprimtaria mendore në matematikë

-Ndjenja estetike që prodhon një teoremë, që konsiderohet si ndjenjë për të bukurën.

 

Po përqendrohemi në këtë aspekt të dytë.

 

Studimi i një vije plane si parabola sjell në shumë zbulime, në krijimin e një harmonie.

 

Për shembull

Le ta këqyrim këtë vijë nga disa këndvështrime:

Grafikoni matematike-1

 

Figura 1

 

Së pari, paraloba është një vijë e bukur në vetvete. Ajo është simetrike lidhur me boshtin e saj, ndonëse shumë shkronja me bosht simetrie nuk ngjallin ndjenjën e të bukurës. Dikush mund të vërejë se kjo ndjenjë vjen nga pambarimi i shtrirjes së saj në krahasim me fundësinë përqark vatrës S.

 

Së dyti parabola përbëhet nga pika që kanë një veti interesante, ato janë të barazlarguara nga vatra dhe nga një drejtës pingule (vija drejtuese e parabolës).

Ndjenja e së bukurës rritet kur atë e krahasojmë me prerjet e tjera konike (parabola: PS/PM=1; elipsi PS/PM<1; hiperbola PS/PM>1).

 

Së treti Dekarti e “martoi” algjebrën me gjeometrinë duke na dhënë këtë ekuacion të parabolës y2 = 4a x, që na mundëson të studiojmë vetitë e saj.

Grafikoni matematike-2

 

Figura 2

 

Së katërti parabola shihet si një prerje speciale e konit të drejtë rrethor. Forma më e përgjithshme e prerjes së konit rrethor është elipsi që ka dy nënforma të skajshme, parabolën dhe rrethin. (AA’ fig 2, P’OP, Q’OQ janë përftuesit e një koni të drejtë rrethor, AA’ është prerja e konit me një plan nën një kënd me boshtin e tij, më të madh se gjysma e këndit të prerjes vertikale AOA’, kur ky kënd është sa gjysma e AOA’, boshti i madh AA’ i elipsit është paralel me përftuesin e konit, prandaj ka gjatësi të pafund. (fig.3).

Grafikoni matematike-3

 

Figura 3

 

Kjo formë e skajshme e elipsit është parabola. Sferat e brendashkruara konit që takojnë rrathët dhe bazën e tij, e takojnë këtë të fundit në vatrat S, S’…Për më tepër, planet që përmbajnë rrathët e kontaktit të sferave dhe konit e presin bazën e elipsit në dy vija që janë vijat drejtuese të tij.

Këto rezultate ngacmuese zbatohen me modifikime te parabola. Kuptimi i këtyre të vërtetave dhe implikimeve të tyre është në thelb bukuria e matematikës.

 

Së pesti, rruga që përshkojnë shumë kometa është parabolë me vatër Diellin. Çdo pikë uji që del nga një shatërvan përshkon në ajër pikërisht një parabolë. Në fakt ajo është një elips i stërzgjatur me vatër qendrën e Tokës.

 

Ky shëmbull shërben për të treguar dallimet ndërmjet bukurisë së matematikës dhe kënaqësisë që jep kërkimi i saj.

Ne gëzohemi duke iu ngjitur shkëmbit por kjo nuk është njësoj sikur kënaqemi kur vështrojmë panoramën për rreth.

 

Në se e krahasojme bukurinë në matematikë me atë në poezi, ka një ndryshim të madh. Sepse në poezi bukuria vërehet te ritmi, tempoja, gjatësia, zanoret e ngadalta, dhe jehonat aliterative. Jo te përmbajtja. Ndërsa në matematikë kryesore janë idetë.

Matematika ka ngjashmëri me muzikën për sa i përket shijimit të së bukurës. S’është e rastit që shumë matematikanë të shquar ishin edhe adhurues dhe instrumentistë muzikorë. Psh Ajnshtajni.

Hardy ka thënë se ka më shumë njerëz që pëlqejnë matematikën se sa muzikën. Madje ata që pëlqejnë muzikën e bëjnë këtë se vërejnë në të një karakter matematik..Një mëndje e vetëdijshme shprehet në gjuhë dhe në gjeste, ndërsa një mëndje e pavetëdijshmë artikulohet në muzikë dhe matematikë.

Thomas Hardy

 

Thomas Hardy

 

Format e muzikës dhe ato të matematikës që shfaqen te truri ynë drejtohen nga një strukturë mendore që ka qenë një prodhim i pashmangëshëm i mjedisit tokësor.

 

Mendja e një foshnje të porsalindur nuk është një “Tabula rasa”, në të ekzistojnë disa struktura të trashëguara kujtese. Psh një nga këto është kërkimi i gjoksit të nënës.

Janë përvojat e ngarkuara emocionalisht të mijëra brezave të paraardhësave tanë që duhet t’i kqyrim për të zbuluar burimet e kënaqësisë estetike në art, poezi, muzikë, matematikë, dhe në format e tjera artistike.

 

Përbërësit e bukurisë

Bukuria në matematikë ashtu si në muzikë nuk është diçka elemetare, ajo ka disa përbërës. Ja disa syresh:

 

-Alternimi i tensionit dhe i lehtësimit si emocion universal.

 

Kur lexojmë çfarëdo formë të matematikës serioze ne përjetojmë alternativisht turbullirën dhe kthjellimin, ngatërresën dhe ndriçimin, pas kaosit vjen rendi. Pas të shumtëve vjen njëshi. Kjo duke arritur nivelet më të thella të ndjenjës i nxit butazi ndjenjat estetike. Ndikimi shihet në muzikë ku psh te një melodi himni alternohet nga mbizotëruesja dhe e qeta, tensioni dhe shlodhja, që ndihmojnë në bukurinë e melodisë. Tjetër shembull është mosharmonia dhe harmonia.

Në matematikë studenti që hutohet nga paraqitjet e shumta seriale të funksioneve si ex, logx, cosx etj kënaqet kur më në fund zbulon teoremën e Tejlorit që i mbulon të gjitha ato.

 

-Realizimi i të pritshmes

është një kënaqësi mendore shumë më e vjetër se sa raca njerëzore. Në muzikë një shembull i njohur është mbizotëruesesja dhe e qeta, e ulta.

Në matematikë mund të kujtojmë shembullin në figurën 2 ku sferat e brendashkruara e cekin elipsin në dy vatrat e tij.

Shtrojnë pyetjen në se një rezultat i njëjtë do ishte sikur ta projektonim elipsin në parabolë. Kënaqësia që vjen duke parë që kjo pritshmëri plotësohet është një erëz që e përmirëson aromën e bukurisë matematike të prerjeve konike.

 

-Befasia për të papriturën

është diçka që e kemi të përbashkët me të shkuarën tonë kafshërore.

Kur na del një përfundim matematik i beftë, që nuk parashihej nga ne, të gjitha emocionet që kishim na trazohen fort. Për shembull vargjet e Fibonaçit që rrinë fshehur te trekëndëshi i Paskalit.

 

-Përceptimi i lidhjeve të padyshuara

është një përvojë tjetër kenaqësie tepër e lashtë në strukturat tona mendore, sikurse u ndodhi njerëzve të lashtë kur vunë re lidhjen ndërmjet lartësisë së dallgëve të detit dhe fazave të Hënës.

Shembull nga matematika mund të shërbejë lidhja ndërmjet ekuacionit të një konikeje

 

x2 +y2 +2gx +2fy +c = 0

 

dhe tangjentes së saj në pikën (x1,y1)

 

xx1 +yy1 +g (x + x1) +f(y + y1) + c =0

 

Në fillim nuk të bie në sy ndonjë lidhje ndërmjet koefiçientëve të binomit (x+ 1)n në zbërthimin e tij sipas trekëndëshit të Paskalit dhe koefiçientëve të gjetur në formulën për tgnθ.

 

Le ta marrim parasysh numrat e plotë:

 

(x + 1)5 = x5 +5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1

 

dhe ta krahasojmë me

tg5θ

 

tg5θ =

 

Na rezulton nga hetimet e mëtutjeshme që funksionet trigonometrikë mund të shprehen algjebrikisht pa iu referuar trekëndëshave kënddrejtë.

Ky unifikim dhe përgjithësim është burim i një befasie të kënaqshme.

 

Ndjenja e fuqisë matematike në rritje vjen edhe nga formula e qënësishme

e =cosθ +i sinθ

ku i =

nga e cila rrjedh

cosθ = ; sinθ =

 

Ky shtim në burimet tona do të thotë per shembull që një problem me sinuse dhe kosinuse si  mund të zëvëndësohet me një integral me terma më të përdorshme, me eksponenciale.

 

-Bukuria matematike gjendet në modelet.

Të kënaqurit me modele është më i vjetër se vallëzimet. Hardy thotë se matematikani, sikurse poeti apo piktori, është modelebërës. Modelet e tija janë më të qendrueshme se të tyre sepse ato janë bërë me idera. Modelet e matematikanit, sikurse ato te poetit dhe piktorit duhet të jenë të bukura, idetë sikurse ngjyrat apo fjalët duhet të lidhen bashkë në mënyrë harmonike.

 

-Lakonizmi

është shpirti i mprehtësisë, por mund të jetë edhe për bukurinë. Shembull për matematikën mund të jetë “Teorema e Fundit Ferma”, ku gjërësia dhe përgjithësia përmblidhen në dy rreshta:

 

Dhënë x, y, z numrat të plotë. Atëhere ekuacioni xn +yn = zn nuk ka zgjidhje në numra të plotë po qe se n>2.

 

Mund të citojmë “Postulatin e Goldbach-ut”:

 

Çdo numër çift > 2 mund të shprehet si shumnë e dy numrave të thjeshtë.

4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, .. , 100=3+97, …

 

Ky postulat është provuar për numra deri te 10 000.

 

Një shemull i thjeshtë mund të jetë edhe vërtetimi i “Teoremës së Pitagorës” nga matematikani indian Bhaskara (lindur më 1114).

Grafikoni matematike-4

 

Figura 4

 

Ai vizaton katër trekëndësha kënddrejtë me syprinë secili nga ab/2, c2 (është syprina e katrorit) është baraz me 4ab/2 +(a-b)2 = a2 + b2

Lexuesi mund të kontrollojë lehtë ndërtimet në figurë.

 

-Unitet në ndryshimësi

është përkufizimi i bukurisë sipas Coleridge[1].

Samuel Taylor Coleridge

 

Samuel Taylor Coleridge

 

Kjo vihet re lehtë në muzikë.  Si shembull të cilësisë artistike të një teoreme matematike le të marrim parasysh zbulimin e Johann Bernoulli-t (1667-1748), të kurbës së bukur të quajtur Brachistochrone.

Grafikoni matematike-5

 

 

Figura 5

 

Një grimcë materiale rrëshqet poshtë sipas kurbës së lëmuar nga A në B. Cila kurbë siguron një zbritje në kohën minimale? Mos vallë një vijë e drejtë, një hark rrethi (sikurse hamendësonte Galileu), apo ndonjë tjetër?

Bernoulli e krahasoi rrugën me atë të një rreze drite që penetron një pllakëzë të shtresëzuar me dënduri optike në rënie. (vijat e thyera, figura 5). Ky është gjithashtu një problem për “kohën më të vogël”. Ai mori ekuacionin e Brachistochrone-s

 

y(1-(= constant

Kjo është cikloida, kurba që përshkon një pikë në rrethin që rrokulliset në një vijë të drejtë.

Grafikoni matematike-6

 

Cikloida

 

Lidhja bashkë e një problemi mekanik me një dukuri optike dhe lidhja e te dyve me një zgjidhje të njëjtë te një kurbë e këndëshme- cikloida, që vjen nga gjeometria e pastër është vërtet një mrekulli.

 

Polya[2] vëren për këtë lidhje: “kemi përpara një vepër të vërtetë arti”.

Ky është uniteti në ndryshimësi.

George Polya

 

George Polya

 

-Kënaqësia shqisore-pamore.

Që në lashtësi syri i njerëzve parapëlqente format e lëmuara të natyrës: horizontin detar, konturet e qyteteve që rrokulliseshin tëposhtë, ylberin, gjurmën e meterorit, parabolën e ujvares, harkun dhe shigjetën, harqet që përshkon dielli dhe hëna në qiell, formën e gjysmëhënës, fluturimin e zogut, e shumë të tjera.

Kjo kënaqësi shqisore pamore nxitet në gjeometri duke këqyryr rrethin, elipsin dhe prerjet e tjera konike, po ashtu cikloidën, vijën zinxhir, grafikët e funksioneve trigonometrikë, kardioidën, spiralen logarimike log ρ = aθ, kërmillin, e shumë forma të tjera të këndëshme.

matematike foto-1

 

matematike foto-2

 

Një melodi mund të pasqyrojë shumë hijeshi. Rrallë mund të gjesh konture të thepisura të notave të ndara kaq gjërësisht në një melodi. Fraza melodike mund të ngrihet e të ulet butësisht, të regjistrojë kulme të mëdha dhe të vegjël, një piruetë si baleriana, para se të vijë lëmueshëm në pikën e nisjes. Të tilla kënaqësi të mëdha estetike në matematike dhe muzikë i kanë rrënjët në pavetëdijen racore të njerëzimit.

 

-Ndjenja eë habisë, madje e tmerrit në praninë e pambarimit,

është një nga emocionet bazë njerëzore. Që nga kohëra që nuk mbahen mend, sidomos njëqind vjetët e fundit për njeriun pambarimi ka qenë një koncept i ngarkuar emocionalisht.

Muzika ka fuqi ta zgjojë këtë emocion. Një seri divergjente e çdo lloji e nxit këtë ndjenjë të pambarimit po ashtu sikurse një seri konvergjente jep ndjenjën e pambarim të voglës. Të dyja ndjenjat nxiten nga shfaqja e kurbës së hiperbolës që priren drejt largësish pafund dhe që njëkohësisht e pakësojnë largesën nga asimptotat e tyre pambarim pa u takuar kurrë njera me tjetrën.

Janë këto aspekte estetike të matematikës që shpesh nuk vihen re.

 

Të shohim tani një shembull plot mister të një teoreme matematike.

 

“Heksagrama mistike” e Paskalit
Grafikoni matematike-6-2

 

Figura 6

 

Në se brendashkruajmë një gjashtëkëndësh në një konike atëhere pikëprerjet e tre çifteve të brinjëve të kundërta janë bashkëvijore.

 

Një teoremë e bukur! Paskali (1623-1662) e vërtetoi atë kur ishte vetëm 16 vjeç dhe i dha figurës emrin e vet.

 

Brianchon[3] provoi teoremën që vijon:

 

Në se jashtëshkruajmë një gjashtëkëndësh një konikeje atëhere tre diagonalet priten në një pikë.

Brianchon

 

 

Brianchon

 

Shumë teorema të këtij tipi gjenden në gjeometrinë projektive. Mendjet e stërvitura të matematikanëve janë kënaqur me bukurinë e tyre në shekuj.

“Mendja e stërvitur”, të shijuarit e bukurisë në matematikë është diçka që fitohet në jetë.Syri duhet të mësohet të shohë. Sa shumë bukuri syri nuk e sheh dot nga mungesa e stërvitjes.



[1] Samuel Taylor Coleridge, poet romantik anglez, 1772-1834

[2] George Polya, matematikan hungarez, 1887-1985

[3] Charles Julien Brianchon, matematikian francez, `1783-1864

2 Responses

  1. ernisa thotë:

    Qmund te fitoni nga prerja e dy katrorve ? Vizatoni te gjitha rastet e mundshme.

  2. ernisa thotë:

    Qmund te fitoni nga prerja e dy katrorve ? Vizatoni te gjitha rastet e mundshme.
    Ju lutem me tregoni tani se esht shum me rendesi sepse e kam per ne shkoll nestra dote me pyes arsimtari me not ju lutem…..

Leave a Reply

You must be Logged in to post comment.

© 2020 KosovaLindore · RSS · Designed by Theme Junkie · Powered by WordPress
ShqipEnglishDeutsch